Espai complet

Dins l'entorn de l'anàlisi matemàtica un espai mètric ${\displaystyle (X,d)}$ es diu que és complet si tota successió de Cauchy convergeix, és a dir, hi ha un element de l'espai que és el límit de la successió.

La idea intuïtiva d'aquest concepte és que no hi ha res "enganxat" a ${\displaystyle X}$ i que no estigui en ${\displaystyle (X,d)}$. Així, per exemple, la recta real és un espai complet, però si li trec un punt, deixa de ser-ho. De la mateixa manera, tot interval tancat en els reals és complet, però tot interval acotat i obert o semi-obert no ho és. Per exemple, l'interval ${\displaystyle (0,1)}$ no és complet, ja que la successió ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}$ és clarament de Cauchy, però no convergeix, ja que el seu límit és zero, punt que "no existeix", ja que no està en el conjunt.

La importància dels espais complets és que és molt més fàcil demostrar que una successió és de Cauchy que convergeix, ja que per demostrar que una successió és de Cauchy no es necessita conèixer el valor al qual convergeix. Un cop demostrada que la successió és de Cauchy per la completesa de l'espai, arriba que la successió convergeix. S'ha pogut fer-hi mètodes poderosos per demostrar l'existència de solucions d'equacions (v.) numèriques, diferencials o integrals en determinades condicions.